Puissances d'un nombre premier et divisibilité

Corollaire

Soit \(p\) , \(q \in \mathcal{P}\) et \(\alpha\) , \(\beta \in \mathbb{N}^\ast\) .
Si \(p \neq q\) , alors \(\mathrm{PGCD}(p^\alpha;q^\beta)=1\) .

Démonstration

On suppose que \(p \neq q\) . L'ensemble des diviseurs positifs

• de \(p^\alpha\) est : \(\left\lbrace 1 \ ; p \ ; p^2 \ ; ... \ ; p^{\alpha-1} \ ; p^\alpha \right\rbrace\) ;
• de \(q^\beta\) est : \(\left\lbrace 1 \ ; q \ ; q^2 \ ; ... \ ; q^{\beta-1} \ ; q^\beta \right\rbrace\) .

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe \(\alpha'\) , \(\beta' \in \mathbb{N}^\ast\) tels que \(p^{\alpha'}=q^{\beta'}\) .
Alors \(p\) divise \(q^{\beta'}\) .
D'après le corollaire précédent, \(p\) divise \(q\) , et donc \(\mathrm{PGCD}(p;q)=p\) .
C'est absurde, car \(p\) et \(q\) sont premiers et distincts, donc \(\mathrm{PGCD}(p;q)=1\) .
Par conséquent, le seul entier commun aux ensembles de diviseurs positifs de \(p^\alpha\) et \(q^\beta\) est 1, et on a donc \(\mathrm{PGCD}(p^\alpha;q^\beta)=1\) .

Corollaire

Soit \(m \in \mathbb{N}^\ast\) , \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(p_1\) , \(p_2\) , ..., \(p_n \in \mathcal{P}\) distincts et \(\alpha_1\) , \(\alpha_2\) , ..., \(\alpha_n \in \mathbb{N}^\ast\) .
Si, pour tout \(k \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) , \(p_k^{\alpha_k}\) divise \(m\) , alors \(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}\) divise \(m\) .

Démonstration

Supposons que, pour tout \(k \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) , \(p_k^{\alpha_k}\) divise \(m\) .
Si \(k \neq \ell\) , alors \(p_k^{\alpha_k}\) et \(p_\ell^{\alpha_\ell}\) sont premiers entre eux et divisent tous les deux  \(m\) , donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(p_k^{\alpha_k}p_\ell^{\alpha_\ell}\) divise \(m\) .
En itérant ce raisonnement, on obtient le résultat.